だが実は,元の信号に割と現実的な制約条件を考えてやることで,その常識的な想像を覆すことができる.つまり,サンプリングされた信号から,元の連続時間信号を完全に復元することができる.シャノンのサンプリング定理,あるいは標本化定理と呼ばれる有名な結果だ.
for | (10.1) |
このとき,サンプリング周波数 が
(10.2) |
つまり,元の信号の帯域の 2 倍を超える周波数でサンプリングしておけば,完全復元が可能ということだ.
元の連続時間信号を としよう.周波数領域で見ると だ.
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これをサンプリング周波数 ,つまりサンプリング周期 でサンプリングして離散時間信号 を得たとしよう.
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DTFT | (10.5) | |
(10.6) |
これからやるのは,端的に言うと,この から を完全に復元できるかという問題を考えようということだ.
(4.3) |
(10.8) |
(10.9) |
ここで右辺にたたみこみと積の関係 (式(8.29)) を使うと,
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ここまでの話をざっくりまとめると,サンプリングするということは,すなわち をかけることに相当している.これを周波数領域で見ると, のフーリエ変換をたたみこむことを意味する.
(10.11) |
ちゃんと計算で示しておこうと思う.ただし,ちょっと技巧的になるけどな.まず,くし型関数 が周期 の周期関数であることに注意して,フーリエ級数展開しておく.
(10.13) | ||
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じゃあ,入力として を入れた場合はどうなる?
(10.27) |
(10.21) | ||
(10.28) |
このときのサンプリング後のスペクトル はどんな形になる?
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ちょっと面倒ではあるんだが,ゆっくり考えてみようか.式(10.29) を時間領域で考えると
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(10.32) |
つまり を だけシフトして 倍したものを全 について足し合わせたのが だ.これもある種のたたみこみととらえればいいんだが,離散信号 と連続信号 の離散たたみこみになっているのがややこしいところだ.
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(10.34) | ||
(10.35) |
折り返しってのは今の 75 Hz で折り返す意味の折り返しかお.
レートも周波数も本質的には同じ概念を指す言葉だが,レートの方が使える文脈が限られているんだな.つまり「単位時間あたり何回サンプルできるか」という意味のサンプリング周波数の代わりに「サンプリングレート」という言葉を使うことはできるが,「信号が 100 Hz の周波数成分を含む」という代わりに「100 Hz のレート成分を含む」とはちょっと言い難い.ということを考えると,「ナイキストレート」という言葉は「サンプリングレートの下限」の方にしか使えなさそうってのはまあ納得のいくところだ.
(10.36) |
(10.37) |
だから にしろ にしろ, のところでのみ値を持ってほかは 0,という表現を共通して選んでいるわけだ.サンプリングという操作の表現としてはまあ自然なものだろう.
これを周波数領域で見るとどうなる?
あるいは,フーリエ級数展開からスタートしてもいい.
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